原則不要です。通常の決済（プライベート用の決済）と同じく、課税対象の経済的利益に該当しないためです。そのため、20万円以上のポイントを得たら確定申告、といったルールもなく、決済で得た分のポイントについては金額を気にする必要はありません。
事実上ありません。個人用のクレジットカードを事業用に使えますし、企業が使う法人カードのように大きな決済をすることもほとんどないため、ポイント還元率を始めとする特典も考慮すると、個人用クレジットカード以上のメリットがないためです。
はい、問題なく使えます。フリーランスの場合、事業用とプライベート用とで用途や比率を完全に切り離すことも難しいですし、このような決済手段に関する法的なルールや罰則もないため、個人用クレジットカード1枚を両方の決済に使うのも良いと思います。
いいえ、フリーランスになったばかりでもクレジットカードの申し込み、賃貸物件の契約は問題なくできます。実際、私もフリーランスなりたてのタイミングでクレジットカードを発行できましたし、フリーランスとして賃貸物件も2回契約しています。